Sivu:Lukion taulukot.pdf/41

40 MERKINTÖJÄ, MÄÄRITELMIÄ JA KAAVOJA

---

Tilastoaineiston $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ keskihajonta $s$ (tai $\mathrm {D}$) on keskiarvosta laskettujen poikkeamien neliöiden keskiarvon neliöjuuri:

8. $s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-{\bar {x}}^{2}}}$

Keskihajonnan neliö $s^{2}$ on varianssi.

Frekvenssitilastolle on vastaavasti

9. $s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{m}f_{i}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{n}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{m}f_{i}x_{i}^{2}-{\bar {x}}^{2}}}$

Jos tilastoaineisto on otos jostakin laajemmasta populaatiosta, niin otoskeskihajonta (koko populaation keskihajonnan estimaatti) lasketaan keskihajonnan kaavasta, jossa lukumäärä $n$ korvataan luvulla $n-1$ eli

10. $s_{n-1}={\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}})^{2}}}$

Otoskeskiarvo on koko populaation keskiarvon estimaatti. Sen keskivirhe saadaan jakamalla otoskeskihajonta luvulla ${\sqrt {n}}$ eli

11. $s_{\bar {x}}={\frac {s_{n}-1}{\sqrt {n}}}$

Arvoa $x_{k}$ vastaava normitettu arvo $z_{k}$

12. $z_{k}={\frac {x_{k}-{\bar {x}}}{x}}$

Korrelaatio

Kahden tilastollisen muuttujan välistä riippuvuutta kuvataan korrelaatiokertoimen avulla. Lineaarisen korrelaation voimakkuuden ilmoittaa Pearsonin tulomomenttikerroin

${\begin{aligned}r_{xy}={\frac {\textstyle \sum (x-{\bar {x}})(y-{\bar {y}})}{ns_{x}s_{y}}}&={\frac {1}{n}}\textstyle \sum z_{x}z_{y}\\&={\frac {n\sum xy-\sum x\sum y}{\sqrt {(n\sum x^{2}-(\sum x)^{2})(n\sum y^{2}-(\sum y)^{2})}}}\end{aligned}}$

$x$ ja $y$ ovat toisiaan vastaavia muuttujan arvoja, ${\bar {x}}$ ja ${\bar {y}}$ muuttujan $x$ ja $y$ keskiarvot, $s_{x}$ ja $s_{y}$ näiden muuttujien keskihajonnat sekä $n$ havaintoparien $(x,y)$ lukumäärä. Viimeisestä kaavasta alaindeksi on jätetty pois.